第35讲：《同号（正项）级数敛散性判定法》内容小结、课件与典型例题与练习

适用于正项(同号)常数项级数的判别法

以下常值级数(数项级数)敛散性的判别法适用于正项级数，也适用于全部项都小于 的级数，只要提出一个负号即转换为正项级数，而级数的项乘以负 ，级数的敛散性不发生变化.

另外，由于 不对级数的敛散性与和产生影响，因此，一般正项级数仅仅考虑大于 的项.

1、比较判别法

用比较判别法判定级数的敛散性需要有比较收敛或发散的级数，因此，对于常见级数，尤其是之前列出的几何级数、调和级数、p-级数以及和为e的阶乘级数的敛散性要记牢.

比较判别法有不等式形式和极限形式，具体结论参见下面列出的课件.

【注1】 一般依据通项结构寻找比较级数，比如通项中包含有 次方项，考虑几何级数比较；包好有 的幂级数结构或者n的有理式结构考虑 级数（一般 值的选取为分母的最高次幂减去分子的最高次幂），有阶乘项可以考虑 的阶乘级数比较。

【注2】 对于已知了级数收敛、发散或数列收敛、发散条件的抽象级数敛散性的判定与证明一般使用的方法过为比较法的不等式形式，或者拆项的部分和数列判定方法。

2、比值、根值判别法

比值、根值判别法只与级数本身的通项有关！当通项中包含有阶乘项一般考虑比值判别法，包含有 次方项考虑根值判别法，具体结论参见下面列出的课件.

【注1】 当两种方法求出的极限都存在时，则极限值相等；当比值判别法极限不存在时，可以考虑根值判别法. 并且有比值法极限存在，则根值法极限一定存在并且相等；但根值法极限存在，比值法极限不一定存在！

【注2】 特别注意：极限值等于 时，敛散性不确定！

3、积分判别法

积分判别法包括两个方面的处理方式，一种是将级数项转换为积分区间端点为正整数，长度为 的积分描述形式，一般再借助比较法，或者部分和数列方法来讨论；一种是将级数通项的 替换为 ，转换为积分区间为 上单调递减的非负函数的反常积分来判定其敛散性.

一般判定思路如下图所示：

参考课件

【注】课件中例题与练习参考解答请参见对应的后续推文，直接点击文首的话题“无穷级数内容总结、课件、典型例题与练习”查看该章节内容列表！

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